四元数、对偶四元数与刚体变换

四元数

下面这样定义的就是四元数(Quaternion)（一般用字母 $q$ 表示四元数）：

$$\begin{array}{}\text{(1.1)}& q=q_0+q_1\mathbf{i}+q_2\mathbf{j}+q_3\mathbf{k}=q_0+{\mathbf{q}}_v\mathbf{u}\in \mathbb{H}\end{array}$$

其中 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 满足 ${\mathbf{i}}^2={\mathbf{j}}^2={\mathbf{k}}^2=-1$ 且 $\mathbf{ij}=\mathbf{k}=-\mathbf{ji},\mathbf{jk}=\mathbf{i}=-\mathbf{kj},\mathbf{ki}=\mathbf{j}=-\mathbf{ij}$ 。

需要注意，这里规定的 $\mathbf{ij}$ 是四元数的代数乘法，不是叉乘，也不是点乘。

如果用简单的记法，四元数也可以记为有序对：

$$\begin{array}{}\text{(1.2)}& q=(q_0,{\mathbf{q}}_v)\end{array}$$

如果令实部和虚部分别为0，则有标量四元数和矢量四元数。

简单来说，四元数可以说是复数向三维空间扩展之后的结果。为什么要用3个虚分量？这是因为四元数本质还是代数，需要满足代数的一些性质，而只用2个虚分量的话，无法满足一些代数性质。

四元数的一些基础性质

加法：

$$\begin{array}{}\text{(1.1.1)}& a+b=(a_0+b_0)+({\mathbf{a}}_v+{\mathbf{b}}_v)\mathbf{u}\end{array}$$

数乘：

$$\begin{array}{}\text{(1.1.2)}& \lambda a=\lambda a_0+\lambda {\mathbf{a}}_v\mathbf{u}\end{array}$$

代数乘法（下面用 $\ast$ 表示）：

$$\begin{array}{}\text{(1.1.3)}& a\ast b=(a_0{b}_0-{\mathbf{a}}_v\cdot {\mathbf{b}}_v,a_0{\mathbf{b}}_v+b_0{\mathbf{a}}_v+{\mathbf{a}}_v\times {\mathbf{b}}_v)\end{array}$$

注意

四元数的代数乘法不满足交换律

矢量四元数（纯虚四元数）的乘法：

$$\begin{array}{}\text{(1.1.4)}& {\mathbf{a}}_v\mathbf{u}\ast {\mathbf{b}}_v\mathbf{u}=-{\mathbf{a}}_v\cdot {\mathbf{b}}_v+{\mathbf{a}}_v\times {\mathbf{b}}_v\end{array}$$

Note

如何计算得到式(3)这个结果？先把四元数展开为分量的形式。按代数方式将它们乘起来：

$$\begin{array}{rl}a\ast b& =(a_0+{\mathbf{a}}_v\mathbf{u})(b_0+{\mathbf{b}}_v\mathbf{u})\\ \\ & =a_0{b}_0+(a_0{\mathbf{a}}_v+{\mathbf{a}}_v{b}_0)\mathbf{u}+{\mathbf{a}}_v\mathbf{u}\ast {\mathbf{b}}_v\mathbf{u}\end{array}$$

对于最后一项，再展开得细节一些，同时结合开头给出的 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 的关系：

$$\begin{array}{rl}(a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k})\ast (b_1\mathbf{i}+b_2\mathbf{j}+b_3\mathbf{k})& =-(a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3)\\ & +(a_2{b}_3-a_3{b}_2)\mathbf{i}+(a_3{b}_1-a_1{b}_3)\mathbf{j}+(a_1{b}_2-a_2{b}_1\mathbf{k})\\ & =-{\mathbf{a}}_v\cdot {\mathbf{b}}_v+{\mathbf{a}}_v\times {\mathbf{b}}_v\end{array}$$

最后再带回原式，就得到了四元数的代数乘法。

点乘：

$$a\cdot b=a_0{b}_0+({\mathbf{a}}_{\mathbf{v}}\cdot {\mathbf{b}}_{\mathbf{v}})\mathbf{u}$$

共轭：

$$q^{\ast }=q_0-{\mathbf{q}}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}$$

逆：

$$q^{-1}=\frac{q^{\ast }}{||q|{|}^2}$$

模长：

$$||q||=q{q}^{\ast }=q^{\ast }q=\sqrt{q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2}$$

四元数还有一些常用的性质：

1. $(ab{)}^{\ast }=(b^{\ast }{a}^{\ast })$
2. $a^{\ast }\cdot b^{\ast }=a\cdot b$
3. $a\cdot a=||a|{|}^2$

单位四元数与旋转

需要说明，能表示旋转的是单位四元数，一般的四元数表示的不是纯旋转，而是带一个缩放量。
单位四元数的定义： $||q||=q{q}^{\ast }=1$

为什么四元数能表示旋转？可以参考3blue1brown的讲解视频。
可以先在复数平面想象。在复平面内，如果2个复数相乘，比如 $i_1\ast i_2$ ，可以把左边的函数看作一个函数，作用在右边。假设 $i_1$ 是单位复数即 $i_1{i}_1^{\ast }=1$ ，则 $i_1$ 的作用就对右边的复数进行旋转变换。所以旋转可以用代数相乘来表示。
你可能会想，是不是直接就类比一下四元数就能表示旋转了？基本上是，但这里有个问题，因此刚才复平面的例子里，旋转是在 $(1,i)$ 平面上旋转的。如果直接类比到四元数，则四元数表示的旋转应该是在四维空间中的，不是我们想要的三维空间。于是需要用球极投影把四维的旋转投影为我们可以理解的三维形式。具体如何投影可参见3blue1brown的讲解视频。所以，我们可以认为，当我们用四元数表示旋转时，我们的三维空间被看作了四元数所在四维空间的子空间（纯虚数子空间）。
在四维空间旋转，会出现一个 double spin的现象。因为在四维空间中有充足的维数，因此可以同时在两个独立的平面上进行旋转——这两个平面没有共同的旋转轴，仅在一个点（旋转中心）处相交，因此两个旋转可以相互独立地进行（而在三维中，两个平面总是沿一条直线相交，无法互不干扰地同时旋转）。这和3blue1brown的演示效果是一样的。一个圆的旋转总是会带动另一个圆旋转。
关键的问题是，这2个独立平面中总有一个包含实数轴 $w$ ，而这是不存在于我们的三维空间中的（我们的三维空间被映射为了纯虚子空间，三个轴是 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ ）。我们希望的是，每次的旋转只围绕一个平面进行。之前进行旋转操作，都是在被操作对象的左边乘一个数。如果在右边乘一个数，有可能出现抵销。
比如四元数 $q=1+2\mathbf{i}+3\mathbf{j}+4\mathbf{k}$ ，左边乘一个 $\mathbf{i}$ 有： $\mathbf{i}q=i-2+3\mathbf{k}-4\mathbf{j}=-2+\mathbf{i}-4\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ 。在四维空间中左乘 $\mathbf{i}$ 是逆时针旋转90度。可以发现 $(1,\mathbf{i})$ 和 $(\mathbf{j},\mathbf{k})$ 平面都发生了逆时针90度的旋转。可以总结如下：

• 左乘 $\mathbf{i}$ ： $(1,\mathbf{i}),(\mathbf{j},\mathbf{k})$ 逆时针90度
• 左乘 $\mathbf{j}$ ： $(1,\mathbf{j}),(\mathbf{k},\mathbf{i})$ 逆时针90度
• 左乘 $\mathbf{k}$ ： $(1,\mathbf{k}),(\mathbf{i},\mathbf{j})$ 逆时针90度
  尝试右乘一下。如果左右乘 $\mathbf{i}$ ：

$$\begin{array}{r}\mathbf{i}q\mathbf{i}=-1-2\mathbf{i}+3\mathbf{j}+4\mathbf{k}\end{array}$$

发现 $(1,\mathbf{i})$ 平面转加倍了，而 $(\mathbf{j},\mathbf{k})$ 平面回去了。
似乎也可以？但一般我们不旋转带实轴的平面，因此右乘 $-\mathbf{i}$ ，让 $(1,\mathbf{i})$ 不变，而 $\mathbf{j},\mathbf{k}$ 旋转。

Warning

因为纯虚部分的三维子空间才对应我们真实想要的空间，而按理来说，一个纯虚的四元数，旋转后应该还是纯虚的四元数。所以我们不希望带实轴的平面发生改变。

所以我们得到了：要让四元数表示旋转变换，应该满足如下的sandwich样式：

$$p^{\prime }=qp{q}^{\ast }，\mathrm{其}\mathrm{中}p=(0,{\mathbf{p}}_v)\in \mathbb{H},q\in \mathbb{H}\mathrm{且}q{q}^{\ast }=1$$

可以参考：如何理解旋转时需要同时左乘和右乘

对于单位四元数而言，其可以写作：

$$\begin{array}{}\text{(1.2.3)}& q=(\cos \theta +\sin \theta \mathbf{u})\end{array}$$

其中 $\mathbf{u}\in \mathbb{H}$ 为单位纯（虚）四元数。

注意

只有在四元数写为极形式时，这个 $\mathbf{u}$ 为单位纯虚函数，与标准形式下的 $\mathbf{u}$ 不同。

上式的推理过程

利用单位四元数这个条件，把四元数写成有序对的格式。
因为

$$q{q}^{\ast }=1$$

所以

$$\begin{array}{r}(q_0,q_v)\ast (q_0,-q_v)=1\\ q_0^2-(q_v\mathbf{u}{)}^2=1\\ q_0^2-(-q_v{\dot{q}}_v+q_v\times q_v)\\ q_0^2+q_v^2=1\end{array}$$

于是令 $\cos \alpha =q_0,\sin \alpha =q_v$ ，就有之前的格式了

这里的 $\theta$ 表示四元数相对于起始点，以 $\mathbf{u}$ 为旋转轴逆时针旋转 $\alpha$ 度。（四维空间）

关于角度带不带1/2

由于上文我们得到，要表示旋转变化需要左右各乘一次。因此虽然写的是一个 $\theta$ ，但在三维空间中实际旋转的角度为 $2\theta$ 。因此我们会看到在别的地方 $\cos$ 内部写的是 $\frac{\theta }{2}$ ，那里的 $\theta$ 表示的就是三维空间中的实际旋转角度了。

对偶四元数

可能你也发现了，用四元数能表示旋转，但刚体变换不止有旋转变换，还有平移变换。四元数能表示平移吗？可惜，不行。不过，对偶四元数可以。

首先了解什么是对偶数：

对偶数及基础运算

形如：

$$\hat{x}=x_r+x_d\epsilon \in \mathbb{D}$$

的代数就是对偶数(Dual Number)（没有统一的表示字母，本文习惯于用 $\hat{x}$ 表示）。其中， $x_r$ 为实部（也称为主部）， $x_d$ 称为对偶部。
与复数不同的是，复数里虚数单位的 $i^2=-1$ ，而对偶数定义 ${\epsilon }^2=0$

为了方便，我用 $[x_r,x_d]$ 这个有序对表示对偶数 $\hat{x}$ 。

对偶数的运算如下：

对偶数的加法：

$$\hat{a}+\hat{b}=(a_r+b_r)+\epsilon (a_d+b_d)$$

对偶数的数乘：

$$\lambda \hat{a}=\lambda a_r+\lambda a_d$$

对偶数的代数乘法：

$$\hat{a}\hat{b}=a_r{b}_r+(a_r{b}_d+b_r{a}_d)\epsilon$$

对偶数的共轭：

$$\overline{\hat{a}}=a_r-a_d\epsilon$$

对偶数的逆：

$${\hat{a}}^{-1}=\frac{\overline{\hat{a}}}{||\hat{a}|{|}^2}$$

Note

逆的原始定义与复数、四元数的一样，都是 $\hat{a}\overline{\hat{a}}=1$ ，代入就可得。

模长：

$$||\hat{a}||=\sqrt{\hat{a}\overline{\hat{a}}}=|a_r|$$

Note

对偶数的模长有些特殊，其与对偶部无关。

另：对偶数与函数的复合：

$$f(\hat{x})=f(x_r)+f^{\prime }(x_r)(x_d\epsilon )(\text{Taylor展开即得})$$

对偶数+四元数 = 对偶四元数

前文我们说到，四元数只能表示旋转。而加上对偶数之后，对偶四元数就可以表示平移和旋转了。

为什么一定要选对偶数作为四元数的扩展？

涉及到对偶数 ${\epsilon }^2=0$ 的性质以及群论的相关知识了。

形如：

$$\hat{q}=q_r+q_d\epsilon ,q_r,q_d\in \mathbb{H},{\epsilon }^2=0$$

的代数被称为对偶四元数。

对偶四元数的一些性质：

加法和数乘，可以直接参考四元数和对偶数的部分。

dual quaternion的代数乘法：

$$\begin{array}{rl}\hat{a}\hat{b}& =[a_r,a_d][b_r,b_d]\\ & =a_r\ast b_r+(a_r\ast b_d+b_r\ast a_d)\epsilon ,a_r,a_d,b_r,b_d\in \mathbb{H}\end{array}$$

参见对偶数乘法和四元数乘法。

共轭：对偶四元数的共轭理论上分三种。

• 四元数共轭：只共轭四元数部分： ${\hat{q}}^{\ast }=q_r^{\ast }+q_d^{\ast }\epsilon$ 。
• 对偶共轭：只共轭对偶数部分： $\overline{\hat{q}}=q_r-q_d\epsilon$ 。
• 总共轭：两个部分都共轭： ${\overline{\hat{q}}}^{\ast }=q_r^{\ast }-q_d^{\ast }\epsilon$ 。
  对偶四元数的逆，对应的是四元数共轭：

$${\hat{q}}^{-1}=\frac{{\hat{q}}^{\ast }}{||\hat{q}|{|}^2}$$

模长：

$$\begin{array}{rl}||\hat{q}|{|}^2=\hat{q}{\hat{q}}^{\ast }& =[q_r,q_d][q_r^{\ast },q_d^{\ast }]\\ & =q_r{q}_r^{\ast }+(q_r{q}_d^{\ast }+q_r^{\ast }{q}_d)\epsilon \\ & =||q_r|{|}^2+[(q_d{q}_r^{\ast }{)}^{\ast }+(q_d{q}_r^{\ast })]\\ & =||q_r|{|}^2+2\epsilon \mathrm{Re}(q_d{q}_r^{\ast })\end{array}$$ $$\mathrm{根}\mathrm{据}f(x)=f(x_r)+f^{\prime }(x_r)(x_d\epsilon )，\mathrm{有}$$ $$\begin{array}{rl}||\hat{q}||& =\sqrt{||q_r|{|}^2+2\epsilon \mathrm{Re}(q_d{q}_r^{\ast })}\\ & =||q_r||+\frac{\mathrm{Re}(q_d{q}_r^{\ast })}{2||q_r||}\epsilon \end{array}$$

可以发现，这里模长不是一个普通的数，而是一个对偶数，这与对偶数和四元数的模长都不同。

单位对偶四元数与刚体变换

与“只有单位四元数能表示旋转变换”的原理类似，正常来想，只有单位对偶四元数能表示刚体变换。
单位对偶四元数的定义是：

$$||\hat{q}||=\hat{q}{\hat{q}}^{\ast }=1$$

需要注意

这里的 $1$ 指 $1+0\epsilon$ ，因为对偶四元数的模长是一个对偶数，所以同时对主部和对偶部作限制。

对应上节的模长公式，可以得到一个对偶四元数是单位对偶四元数所需要的2条限制：

1. 主部模长为1： $||q_r||=1$ 。
2. 对偶部为纯虚四元数： $\mathrm{Re}(q_r{q}_d^{\ast })=0$ 或 $q_r{q}_d^{\ast }+q{r}^{\ast }{q}_d=0$ 或 $q_r\cdot q_d=0$ （正交）。

注意&易错

第2条不能推导出 $q_d$ 是纯虚函数，只能推出 $q_d{q}_r^{\ast }$ 是纯虚函数。
完成可能存在一组 $q_r$ 和 $q_d$ 都不为0，但是能产生正交性。

有了单位对偶四元数之后，如何用它来表示刚体运动呢？
对于空间中的刚体变换，我们总是可以分解为平移变换和旋转变换，但这两个变换之间有顺序上的要求。我们定义顺序为“先旋转再平移”。

和四元数表示旋转类似，我们想用一个单位对偶四元数的左乘表示旋转和平移（暂时先考虑只有左乘的情况），那么不妨假设分为2步，第1步旋转，第2步再平移。

根据单位对偶四元数的第1条限制，我们可以得到主部是一个单位四元数，而单位四元数完成可以用于表示旋转，因此目前的问题变成了，什么形式的对偶部可以表示平移。

根据单位对偶四元数的第2条限制，我们知道 $q_d{q}_r^{\ast }$ 一定是一个纯虚四元数，而一个三维向量正好可以用一个纯虚四元数表示，因此可以假设 $q_d{q}_r^{\ast }$ 表示的三维向量为平移向量，记为 $t=\alpha q_d{q}_r^{\ast }$ 。根据这个式子解出对应的 $q_d$ 为 $q_d=\frac{t{q}_r}{\alpha }$ 。

目前，我们暂时地得到了刚体运动的单位对偶四元数格式：

$$\begin{array}{}\text{(2.3.2)}& \hat{q}=q_r+\frac{t}{\alpha }{q}_r\epsilon ,(\alpha >0)\end{array}$$

这里的 $t$ 是平移变量 $\mathbf{t}$ 的四元数化的结果，等于 $(0,\mathbf{t})$ 。不过，这里还有一个参数没有被确定： $\alpha$ 。
要确定这个参数，还需要从刚体变换的结果上计算。

这个参数的计算我们后面再说 ，现在我们先考虑另一个重要问题。

考虑三维空间中的一个点 $P$ ，我们把它转换对偶四元数格式： $1+\mathbf{p}\epsilon$ 。根据我们在四元数旋转上的经验，应该也会要同时左右乘。而这带来了一个问题，我们如何知道右乘的是什么共轭？

为什么要表示为这个格式？

点在三维空间中类似向量，只有平移信息，没有旋转的信息。而 $q_r$ 又必须是单位四元数，所以第1项是 $1$ 。

上面的问题可以利用纯旋转和纯平移来得到。
考虑纯旋转，此时 $q_d=0$ ，只有 $q_r$ ，回想四元数所对应的结果，右边肯定是 $q_r^{\ast }$ 。因此就在四元数共轭和总共轭之间选择。

其实从数学上讲， $q_r(1+\mathbf{p}\epsilon )=q_r+q_r\mathbf{p}\epsilon$ ，而最后空间中的点一定还要满足 $1+\mathbf{x}\epsilon$ ，因此右边一定是 $q_r^{\ast }$

考虑纯平移，此时 $q_r=1,q_d=\frac{t}{\alpha },\hat{q}=1+\frac{t}{\alpha }\epsilon$ 。相乘得：

$$(1+\frac{t}{\alpha }\epsilon )(1+\mathbf{p}\epsilon )=1+(\mathbf{p}+\frac{t}{\alpha })\epsilon$$

最后还是要满足 $1+\mathbf{x}\epsilon$ 的格式，可以假设右边是 $1+s\frac{t^{\ast }}{\alpha }\epsilon ,s=\pm 1$ ，右乘有：

$$\begin{array}{}\text{(2.3.4)}& \begin{array}{r}[1+(\mathbf{p}+\frac{t}{\alpha })\epsilon ](1+s\frac{t^{\ast }}{\alpha }\epsilon )=1+(s\frac{t^{\ast }}{\alpha }+\mathbf{p}+\frac{t}{\alpha })\epsilon \end{array}\end{array}$$

因为： $t$ 是纯虚四元数，所以 $t^{\ast }=-t$ ，所以 (2.3.4)有：

$$\begin{array}{}\text{(2.3.5)}& \begin{array}{rl}1+(s\frac{t^{\ast }}{\alpha }+\mathbf{p}+\frac{t}{\alpha })\epsilon & =1+(-s\frac{t}{\alpha }+\mathbf{p}+\frac{t}{\alpha })\epsilon \\ & =1+(\mathbf{p}+\frac{t(1-s)}{\alpha })\epsilon \end{array}\end{array}$$

我们希望平移后的向量应该是： $1+(\mathbf{p}+t)\epsilon$ ，因此可以推理出： $1-s>0$ 即 $s<0$ ，因此最后选择总共轭。

回到公式 (2.3.2)，现在我们来确定参数 $\alpha$ 的取值。考虑完整的刚体变换： $\hat{q}=q_r+\frac{t}{\alpha }{q}_d\epsilon$ ，对点 $\mathbf{p}$ 有：

$$\begin{array}{rl}\hat{q}p\overline{\hat{q}}& =(q_r+\frac{t}{\alpha }{q}_r\epsilon )(1+\mathbf{p}\epsilon )(q_r^{\ast }-\frac{q_r^{\ast }{t}^{\ast }}{\alpha }\epsilon )\\ & =[q_r+(q_r\mathbf{p}+\frac{t}{\alpha }{q}_r)\epsilon ](q_r^{\ast }-\frac{q_r^{\ast }{t}^{\ast }}{\alpha }\epsilon )\\ & =1+(-\frac{q_r{q}_r^{\ast }{t}^{\ast }}{\alpha }+q_r\mathbf{p}{q}_r^{\ast }+\frac{t{q}_r{q}_r^{\ast }}{\alpha })\epsilon \\ & =1+(q_r\mathbf{p}{q}_r^{\ast }+\frac{t{q}_r{q}_r^{\ast }-q_r{q}_r^{\ast }{t}^{\ast }}{\alpha })\epsilon \\ & =1+(q_r\mathbf{p}{q}_r^{\ast }+\frac{t+t}{\alpha })\epsilon \\ & =1+(q_r\mathbf{p}{q}_r^{\ast }+\frac{2t}{\alpha })\epsilon \end{array}$$

想想用矩阵表示时的样式，我们可以得到： $\alpha =2$ 。所以我们得到了表示刚体运动的单位对偶四元数形式：

$$\begin{array}{}\text{(2.3.7)}& \hat{q}=q_r+\frac{t}{2}{q}_r\epsilon \end{array}$$

当然，如果要严谨一点，应该还需要把 (2.3.7) 代入计算以验证这确实是刚体变化。不过这里就不代入了，代入后可以证明这是刚体变化。

补充：四元数的幂与螺旋运动

沙勒定理(Chasles Theorem)

刚体的最广义位移等价于一个平移加上一个旋转

单位对偶四元数也能定义幂次，表示其在空间中的螺旋运动的中间的位置。
比如 ${\hat{q}}^{\frac{1}{2}}$ 表示原变换 $\hat{q}$ 一半的位置。

需要注意

这里的一半不是几何意义上的“距离”或“角度”的一半，而是群意义上的一半：

$${\hat{q}}^{\frac{1}{2}}{\hat{q}}^{\frac{1}{2}}=\hat{q}$$

因此，会出现变换的“一半”得到的距离比“距离”的一半大的情况。比如旋转90度+位移。

对偶四元数和四元数的幂按统一的定义有：

$$x^{\alpha }=\exp (\alpha \ln x)$$

虽然不是单位对偶四元数或单位四元数，也有这个定义，但考虑刚体运动用的也就只是单位对偶四元数，就不讨论非单位的情况了。

两者幂的形式一致，但几何意义有不同。比如同为 $\frac{1}{2}$ 幂，单位四元数可以表示真实的角度旋转为 $\frac{1}{2}$ 而单位对偶四元数表示的是旋转和平移的耦合量的一半。

对单位四元数而言，可以写作式 (1.2.3) 的形式，而有幂次后，就只量把角度改为了幂次倍：

$$q^{\alpha }=\cos (\alpha \theta )+\mathbf{u}\sin (\alpha \theta )$$

上式的证明相对简单，不过需要有个补充知识，即欧拉公式的四元数推广。

欧拉公式的四元数推广

欧拉公式如下：

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

而欧拉公式的四元数推广如下：

$$e^{\mathbf{u}\theta }=\cos \theta +\mathbf{u}\sin \theta ,\mathbf{u}\in \mathbb{H}\mathrm{为}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{纯}\mathrm{四}\mathrm{元}\mathrm{数}$$

这个式子的证明用Taylor展开就可，证明见： 此文章

有这个式子后，就可以把 $q$ 写成 $e^{\mathbf{u}\theta }$ ，而 $q^{\alpha }={\left(e^{\mathbf{u}\theta }\right)}^{\alpha }=e^{\mathbf{u}\theta \alpha }$ ，然后再展开就行。 对单位对偶四元数而言，欧拉公式的四元数的推广同样适用。