证明欧拉函数的四元数推广公式

设单位纯四元数

$$\mathbf{u}=u_1\mathbf{i}+u_2\mathbf{j}+u_3\mathbf{k},\parallel \mathbf{u}\parallel =1.$$

由于

$${\mathbf{i}}^2={\mathbf{j}}^2={\mathbf{k}}^2=-1,$$

且交叉项两两抵消，因此

$$\mathbf{u}<spanid={"}^2"class="obsidian-block-id"></span>=-(u_1^2+u_2^2+u_3^2)=-\parallel \mathbf{u}\parallel <spanid={"}^2"class="obsidian-block-id"></span>=-1.$$

四元数指数函数定义为

$$e^q=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{n!}.$$

因此

$$e^{\mathbf{u}\theta }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathbf{u}}^n{\theta }^n}{n!}.$$

Taylor展开，在 $x=0$ 处展开 $f(x)=e^x$ 。

由

$${\mathbf{u}}^2=-1,$$

可得

$${\mathbf{u}}^{2k}=(-1{)}^k,{\mathbf{u}}^{2k+1}=(-1{)}^k\mathbf{u}.$$

于是

$$\begin{array}{rl}{e}^{\mathbf{u}\theta }& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k}}{(2k)!}+\mathbf{u}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ & =\cos \theta +\mathbf{u}\sin \theta .\end{array}$$

因此

$$\boxed{{\displaystyle e^{\mathbf{u}\theta }=\cos \theta +\mathbf{u}\sin \theta }}$$

这就是欧拉公式在四元数上的推广。

设单位纯四元数

$$\mathbf{u}=u_1\mathbf{i}+u_2\mathbf{j}+u_3\mathbf{k},\parallel \mathbf{u}\parallel =1.$$

由于

$${\mathbf{i}}^2={\mathbf{j}}^2={\mathbf{k}}^2=-1,$$

且交叉项两两抵消，因此

$$\mathbf{u}<spanid={"}^2"class="obsidian-block-id"></span>=-(u_1^2+u_2^2+u_3^2)=-\parallel \mathbf{u}\parallel <spanid={"}^2"class="obsidian-block-id"></span>=-1.$$

四元数指数函数定义为

$$e^q=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{n!}.$$

因此

$$e^{\mathbf{u}\theta }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathbf{u}}^n{\theta }^n}{n!}.$$

Taylor展开，在 $x=0$ 处展开 $f(x)=e^x$ 。

由

$${\mathbf{u}}^2=-1,$$

可得

$${\mathbf{u}}^{2k}=(-1{)}^k,{\mathbf{u}}^{2k+1}=(-1{)}^k\mathbf{u}.$$

于是

$$\begin{array}{rl}{e}^{\mathbf{u}\theta }& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k}}{(2k)!}+\mathbf{u}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ & =\cos \theta +\mathbf{u}\sin \theta .\end{array}$$

因此

$$\boxed{{\displaystyle e^{\mathbf{u}\theta }=\cos \theta +\mathbf{u}\sin \theta }}$$

这就是欧拉公式在四元数上的推广。